Cube dans un repère

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

On munit l’espace d’un repère orthonormal d’origine O. On considère les points \(\text{A(1 ; 0 ; 0)}\), \(\text{C(0 ; 1 ; 0)}\) et \(\text{E(0 ; 0 ; 1)}\).
On construit alors le cube \(\text{OABCEFGH}\).

1. Donner les coordonnées du point \(\text{G}\).
2. Calculer la distance \(\text{EB}\).
On considère la section plane du cube \(\text{OABCEFGH}\) par le plan\(\text{(FAC)}\).
3. Donner, parmi les huit sommets du cube, tous ceux qui appartiennent à cette section plane.
4. Quelle est la projection du point \(\text{E}\) sur le plan \(\text{(ABC)}\) parallèlement à la droite \(\text{(FB)}\) ?
Soit le point \(\text M\), centre du cube \(\text{OABCEFGH}\). On rappelle que ce point est le milieu du segment \(\text{[AH]}\). On note \(\text{M}^\prime\) le point obtenu par projection du point \(\text{M}\) sur le plan \(\text{(ABC)}\) parallèlement à la droite \(\text{(FA)}\).
5. Donner une caractérisation géométrique du point​​​​​ \(\text{M}^\prime\).